Pues un modo de hacerlo podría ser pasando por querystring el identificador del registro que quieras mostrar. De este modo, la primera vez que accedas a la página del dropdownlist no habrá querystring, por lo que comparando en el page_load que el valor es nulo podrás cargar el desplegable, una vez que te vayas a la página del gridview, al dar al linkedbutton llamas a la página del desplegable pasandole por querystring el identificador del registro que se quiere ver y esta vez, al tener un valor asignado, en la comparación en el evento page_load cargas los datos que correspondan (para lo que además el identificador que has pasado por querystring te puede resultar util).
Para acceder a la querystring debes hacerlo medainte el objeto request. Un ejemplo de como quedaría el page_load de la página del desplegable:
Sub Page_Load(sender As Object, e As EventArgs)
If Request.QyueryString("nombre") is nothing then
CargaDropDownList()
Else
CargaDatosDeRegistro();
End sub
Y en la página del grid, en el evento del linkedButton haces una redirección a la página con la querystring :
Response.Redirect("pagina.aspx?nombre="+valordelidentificador);
La querystring es el ?nombre=valor que se adjunta a las urls. Si quieres pasar varios valores se hace así ?nombre=valor&nombre2=valor&nombre3=valor.
Tienes información aqui querystring (en inglés).
Espero haberme explicado. Se puede hacer de otros modos, como por ejemplo con una variable session, pero para empezar me parece qeu esto te valdría.
Saludos.